RMSE (Root Mean Squared Error)

El Error Cuadrático Medio Raíz (RMSE) es simplemente la raíz cuadrada del MSE. Esta transformación aparentemente trivial tiene una consecuencia importante: las unidades vuelven a ser interpretables.

Definición

Sea un conjunto de $n$ observaciones con valores reales $y_1, y_2, \ldots, y_n$ y valores predichos $\hat{y}_1, \hat{y}_2, \ldots, \hat{y}_n$ .

El RMSE se define como:

\text{RMSE} = \sqrt{\text{MSE}} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2}

Desglose de la fórmula

Símbolo	Nombre	Significado
$\sqrt{\phantom{x}}$	Raíz cuadrada	Deshace el efecto del cuadrado en las unidades
$\frac{1}{n}\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$	MSE	El error cuadrático medio

Propiedades matemáticas

Propiedad 1: Unidades originales

El RMSE tiene las mismas unidades que la variable objetivo:

[\text{RMSE}] = [y]

Esto lo hace directamente comparable con la escala de los datos, a diferencia del MSE.

Propiedad 2: Relación con MSE

El RMSE y el MSE están relacionados de forma monotónica:

\text{RMSE}_1 < \text{RMSE}_2 \iff \text{MSE}_1 < \text{MSE}_2

Minimizar RMSE es equivalente a minimizar MSE, pero RMSE es más interpretable.

Propiedad 3: Cota inferior por MAE

El RMSE siempre es mayor o igual que el MAE:

\text{RMSE} \geq \text{MAE}

Demostración: Por la desigualdad de las medias (QM-AM):

\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}} \geq \frac{\sum |x_i|}{n}

La igualdad se da solo cuando todos los errores son iguales en valor absoluto.

Propiedad 4: Relación con desviación estándar

El RMSE puede interpretarse como una desviación estándar de los errores (asumiendo que la media de los errores es cero):

\text{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum e_i^2} \approx \sigma_e

Si el modelo no tiene sesgo sistemático ( $\mathbb{E}[e] = 0$ ), el RMSE aproxima la desviación estándar de los residuos.

Interpretación geométrica

El RMSE es proporcional a la distancia euclidiana entre los vectores de valores reales y predichos:

\text{RMSE} = \frac{1}{\sqrt{n}} \|\vec{y} - \hat{\vec{y}}\|_2

donde $\|\cdot\|_2$ es la norma euclidiana.

Comparación con MAE

Aspecto	MAE	RMSE
Fórmula base	Valor absoluto	Cuadrado
Sensibilidad a outliers	Baja	Alta
Diferenciabilidad	No (en 0)	Sí
Penalización	Lineal	Cuadrática
Optimizador natural	Mediana	Media

Cuándo RMSE > MAE significativamente

Si $\frac{\text{RMSE}}{\text{MAE}}$ es mucho mayor que 1, indica que hay errores grandes (outliers) en las predicciones.

\frac{\text{RMSE}}{\text{MAE}} \approx 1 \implies \text{errores homogéneos}

\frac{\text{RMSE}}{\text{MAE}} >> 1 \implies \text{presencia de outliers}

Ejemplo numérico

Continuando con el ejemplo de MSE:

\text{MSE} = 137.5

\text{RMSE} = \sqrt{137.5} \approx 11.73

Interpretación: El error típico del modelo es de aproximadamente $11,730.

Comparemos con el MAE del mismo ejemplo:

\text{MAE} = 10, \quad \text{RMSE} = 11.73

\frac{\text{RMSE}}{\text{MAE}} = \frac{11.73}{10} = 1.17

El ratio cercano a 1 indica que los errores son relativamente homogéneos.

Implementación

Example.java

import com.minerva.core.primitives.Vector;
import com.minerva.metrics.RegressionMetrics.RegressionMetrics;
 
public class RMSEExample {
    public static void main(String[] args) {
        Vector actual = new Vector(new double[] {250, 300, 180, 420});
        Vector predicted = new Vector(new double[] {245, 310, 175, 400});
        
        RegressionMetrics metrics = new RegressionMetrics();
        double rmse = metrics.RMSE(actual, predicted);
        
        System.out.println("RMSE: " + rmse);
    }
}

java RMSEExample

RMSE: 11.726039399558574

Ver también

MSE — Base del RMSE
MAE — Alternativa lineal
R² — Proporción de varianza explicada

Bonus: Análisis avanzado del RMSE

Advertencia

Esta sección requiere conocimientos de estadística matemática y teoría de la medida. Puedes saltarla sin perder continuidad.

Desigualdad de Jensen y el ratio RMSE/MAE

La relación $\text{RMSE} \geq \text{MAE}$ es una consecuencia de la desigualdad de Jensen.

Para una función convexa $\phi$ (como $\phi(x) = x^2$ ):

\phi\left(\mathbb{E}[X]\right) \leq \mathbb{E}[\phi(X)]

Aplicando con $\phi(x) = \sqrt{x}$ (cóncava) sobre $X = e_i^2$ :

\sqrt{\mathbb{E}[e_i^2]} \geq \mathbb{E}[\sqrt{e_i^2}] = \mathbb{E}[|e_i|]

Por lo tanto: $\text{RMSE} \geq \text{MAE}$ .

Cotas del ratio RMSE/MAE

El ratio $k = \frac{\text{RMSE}}{\text{MAE}}$ está acotado:

1 \leq k \leq \sqrt{n}

Cota inferior ( $k = 1$ ): Cuando todos los errores tienen el mismo valor absoluto:

|e_1| = |e_2| = \ldots = |e_n| = c

Cota superior ( $k = \sqrt{n}$ ): Cuando solo un error es no-cero:

e_1 = c, \quad e_2 = e_3 = \ldots = e_n = 0

Entonces: $\text{MAE} = \frac{c}{n}$ , $\text{RMSE} = \frac{c}{\sqrt{n}}$ , y $k = \sqrt{n}$ .

Distribución muestral del RMSE

Bajo normalidad de errores ( $e_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ ):

\frac{n \cdot \text{MSE}}{\sigma^2} = \frac{\sum e_i^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-p-1}

donde $n-p-1$ son los grados de libertad residuales.

Por lo tanto:

\mathbb{E}[\text{MSE}] = \frac{n-p-1}{n} \sigma^2

\text{Var}(\text{MSE}) = \frac{2(n-p-1)}{n^2} \sigma^4

Intervalos de confianza para RMSE

Un intervalo de confianza $(1-\alpha)$ para $\sigma$ (y por ende para RMSE esperado) es:

\left[ \sqrt{\frac{(n-p-1) \cdot \text{MSE}}{\chi^2_{n-p-1, \alpha/2}}}, \sqrt{\frac{(n-p-1) \cdot \text{MSE}}{\chi^2_{n-p-1, 1-\alpha/2}}} \right]

Convergencia asintótica

Para muestras grandes, por el teorema central del límite:

\sqrt{n}(\text{RMSE} - \sigma) \xrightarrow{d} \mathcal{N}\left(0, \frac{\sigma^2}{2}\right)

Esto permite construir intervalos de confianza asintóticos simples.